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Master (programme_master_edp).








Modules proposes par le laboratoire AMNEDP

Pour le master d’analyse

 

 Certains modules sont donnés pratiquement complets, d’autres presque complets et enfin d’autres uniquement des titres

Le but est d’avoir une ossature assez consistante à présenter au conseil de faculté. Cette proposition sera affinée prochainement et nous espérons relativement vite.

Premier semestre

Théorie des distributions I

 Ce programme constitue la première partie de la théorie des distributions. Elle fait partie intégrante des modules obligatoires en master analyse (EDP), durant le premier semestre de la formation.

  • Fonctions tests. Fonctions de troncatures. Partition de l’nuitée

  • Distributions : définitions et propriétés.

  • Dérivées des distributions.

  • Convolution.

Equations différentielles ordinaires

(Stabilité a l’infini, géodésique, énergie, champs de vecteurs).

Ce programme sera détaillé en fonction des propositions du laboratoire de systèmes dynamique

Contrôle en dimension finie et introduction la théorie des semi groupe

Introduction

  • Historique

  • Exemples

Chapitre.1. contrôlabilité et observabilité en dimension finie

Contrôlabilité

  • Définitions  

  • Opérateur de contrôlabilité

  • Gramien de contrôlabilité

  • Caractérisations de la contrôlabilité

  • Contrôle optimal. Caractérisation

Observabilité

  • Définitions

  • Opérateur d’observabilité

  • Gramien d’observabilité

  •  Inégalité d’observabilité

  • Contrôlabilité et inégalité d’observabilité

  • Critère de Kalman

Chapitre2. Stabilisation en dimension finie

  • Définitions : stabilisation forte, stabilisation exponentielle, stabilisation faible.

  • Equivalence entre les trois notions en dimension finie.

  • Critère de stabilisation en dimension finie.

Chapitre.3.Introduction a la théorie des semi groupes

  • Motivations

  • Définitions et propriétés

  • Générateur infinitésimal, propriétés

Partie analyse numérique

Première année

A)  Méthode des différences finies et volumes finis pour les problèmes elliptiques et paraboliques :

  • Principe des deux méthodes
  • Problèmes elliptiques :

a. Etude de la méthode des différences finies en une dimension

b. Schéma volumes finis en une dimension

c. Exemple de discrétisation par différences finies en deux dimensions

  • Problèmes paraboliques :

a. Problème continu et la discrétisation espace temps.

b. Discrétisation par Euler explicite en temps.

c. Schéma implicite et schéma de Gank-Nicolson

B)  Méthode des éléments finis

Eléments finis en une variable d’espace.

Eléments finis en deux variables d’espace : éléments finis triangulaires éléments finis quadrangulaires.

Approximation de problèmes variationnels. Notions d’erreurs d’interpolation et

D’approximation.

Eléments finis mixtes : définitions, propriétés.

Application a la mécanique des fluides : équations de Stokes, équations de Navier-Stokes.

C) Méthodes Multigrilles.

Calcul différentiel et applications

  • Calcul différentiel dans les espaces de Banach

  • Dérivées de Gateaux-Fréchet

  • Applications aux opérateurs

  • Calcul des variations

Ce module sera affiné prochainement.

Second semestre

Théorie des distributions II

Ce programme constitue la deuxième partie de la théorie des distributions, il est prévu qu’il soit assuré durant le deuxième semestre du master

  • Transformée de fourier

  • Distributions périodiques

  • Transformée de laplace

  • Quelques méthodes de résolution pour le laplacien, l’équation des ondes et l’équation de la chaleur.

Introduction aux espaces de Sobolev

Volume horaire hebdomadaire : 1h30 cours et 1h30 TD

  1. Les espaces Hm (Rn) et leurs propriétés

  2. Les espaces Hm(Ω) et H m0(Ω)

  3. Opérateurs de prolongement

  4. Inégalité de Poincaré

  5. Théorèmes d’injections

  6. Les espaces duaux

  7. Théorème de trace

  8. Espaces H (div, Ω), H (rot, Ω), traces normale et tangentielle

  9. Etude variationnelle de quelque problème elliptique

Bibliographie

R.A.Adams,Sobolev spaces

H.Brezis , analyse fonctionnelle

1. C.Evans…

2.

Sous Variétés

Sous variétés, formes différentielles, formules de Stokes, Green, Tenseurs.

(Voir le programme du laboratoire de systèmes dynamiques

 

Module Master (S4 ou S5) (Trois heures hebdomadaires)

Introduction aux méthodes asymptotiques (Homogénéisation, Echelles multiples, Développements asymptotiques raccordés)

Modèle d’homogénéisation en dimension une :

 Variable rapide, variable lente

 Développent à deux échelles

 Convergence a deux échelles

Modèle de perturbations singulières :

 Développement multi échelle

 Développements asymptotiques raccordés

Modèle du coin arrondi :

 Domaine singulier

 Singularités

 Changement d’échelle

Développent multi-échelles :

 Construction des premiers termes du développement

 Convergence

Développements asymptotiques raccordés :

 Construction des développements

 Raccordements des développements

 Estimation d’erreur

Référence bibliographique

[1] F. AMMARA KHODJA et A. BENBDALLAH, une introduction a la théorie du contrôle, cours de DEA

http://www.cmi.univ-mrs.fr/ assia/controle%20de%20systemes.pdf

[2] A. BENABDALLAH, une introduction a la theorie du contrôle, cours,

http://www.cmi.univ-mrs.fr/ assia/cont%F4labilit%E91.pdf

[3] R.F.CURTAIN et H.J.ZWART, An introduction to infinite-dimensional linear system theory, springer-verlag

[4] R.DAUTRY et J.L.LIONS, analyse mathématique et calcule numérique Evolution : semi-groupe, variationnel, T8, Masson.

[5] A.HARAUX, systèmes dynamiques dissipatifs et applications, Masson

[6] J.L.LIONS , contrôlabilité exacte et stabilisation de système distribues, T1 et T2, Masson

[7] V.KOMORINK, exact controllability and stabilization, the multiplie method, MASSON

[8] A.PAZY, semi groupe of linear operators and application to partial differential equation.

[9] J.ZABCZYK, mathematical control theory : An introduction, Birkhauser.

Troisième semestre

Problèmes hyperboliques.

Ce programme constitue l’un des modules du troisième semestre du master d’analyse

  • Fonction de Green en une dimension

  • Equation des ondes : exemples physiques, solution élémentaire en une et en trois dimensions

  • Classification des EDP du second ordre en deux dimensions : Caractéristiques.

  • équations hyperboliques

  • Systèmes quasi linéaires hyperboliques.

Théorie des semi-groupes, problèmes d’évolution et contrôle en dimension infinie

 

Chapitre 1. Théorie des semi-groupes

  • Théorème de Hille-Yosida

  • Théorème de Lumer-Philips

  • Cas auto adjoint

Chapitre 2. Problèmes d’évolution non homogènes

  • Solution forte, solution faible

  • Théorèmes d’existence

  • Exemples de semi-groupes

 Équation de la chaleur

 Équation des ondes, régularité des solutions

Chapitre 3. Contrôlabilité en dimension infinie

  • Définitions, opérateur de contrôlabilité

  • Contrôlabilité exacte, caractérisation

  • Exemple de système non exactement contrôlable

Chapitre 4. Contrôlabilité exacte de l’équation des ondes

  • Contrôle interne

  • Contrôle sur une partie du bord

  • Optimalité du contrôle exact

Chapitre 5. Contrôlabilité approchée

  • Définition et caractérisation

  • Exemple de l’équation de la chaleur

Chapitre 6. Principe d’invariance de LaSalle

  • Ensemble Oméga-limite d’un semi-groupe, propriétés

  • Fonction de Lyapounov d’uns semi-groupe, propriétés

  • Théorème : principe d’invariance de Lasalle, Application : étude de la stabilité forte de l’équation des ondes

Partie analyse numérique

Deuxième année

A)  Méthodes spectrales :

  • Méthodes spectrales de fourier

  • Méthodes spectrales de Legendre

  • Méthodes spectrales de Chebishev

B) Méthodes intégrales :

  • Potentiel de simple couche pour le problème de Dirichlet

  • Potentiel de double couche pour le problème de Neumann

  • Problème de Neumann extérieur représenté en simple couche

C)  Mémoire

Bibliographie

  1.  P.G .Ciarlet, 2003, Handbook of numerical analysis : North-Holland, Amsterdam.

  2. P.G.Ciarlet, 1979, the finite element method for elliptic problems : North-Holland, Amsterdam.

  3. P.J.FREY, P.L.George, 1999, Maillages, applications aux éléments finis : Hermes,Paris.

  4. P.L.George, 1991, génération automatique de maillage, applications aux éléments finis : RMA 16, Masson, Paris.

  5. C.Johnson, 1987, Numerical solution of partial differential equations by the finite element method : Cambridge university Press New York.

  6. .B.Mohammadi, J.H.saiac, 2003, pratique de la simulation numérique : Dunod, Paris.

  7. G.Strang, G.J.Fix, 1973, An analysis of the finite element method : Prentice Hall, Englewood Cliffs.

  8. P.A.Raviart, J.M.Thomas, 1983, Introduction a l’analyse numérique des équations à dérives partielles : Masson, Paris.

  9. J.Baranger, 1991, Analyse numérique : Hemann.

  10. D.Euvrard, 1988, Résolution numérique des équations aux dérivées partielles : Masson, Paris.

 

Théorie du contrôle

Chapitre 1. Contrôlabilité et observabilité

 Contrôlabilité

  • Problèmes entrée sortie

  • Opérateur de contrôlabilité, gramien de contrôlabilité

  • Contrôlabilité exacte, caractérisations

Observabilité

  • Observabilité, définition

  • Opérateur d’observabilité, gramien d’observabilité

  • Problème dual, équivalence entre contrôlabilité du problème direct et observabilité du problème dual.

  • Caractérisation de l’observabilité 

Chapitre 2. Contrôlabilité aux trajectoires

  • Définition et caractérisation

  • contrôlabilité a zéro de l’équation de la chaleur 

  • comparaison des différentes notions de contrôlabilité

Chapitre 3. Stabilisation

  • Définitions, stabilisation forte, stabilisation exponentielle, stabilisation fiable.

  • Conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un semi-groupe soit exponentiellement stable

  • Exemple : stabilisation frontière de l’équation des ondes

Méthodes asymptotiques

Homogénéisation, Echelles multiples

Développements asymptotiques raccordés

Homogénéisation des milieux poreux :

  • Homogénéisation

  • Convergence a deux échelles

  • Modélisation de milieux poreux

Développements asymptotiques :

  • Problèmes de transmission et couches minces

  • Diffraction d’une onde par un obstacle recouvert d’une couche mince diélectrique (Problème de Helmholtz)

  • Diffraction d’une onde électromagnétique par un obstacle recouvert d’une couche mince d’électrique (Système de Maxwell complet)

Développements asymptotiques raccordés :

  • Modèle d’antenne patch

  • Champ lointain

  • Champ proche

  • Raccordement

  • Conditions de compatibilité

  • Estimation d’erreur.

Problèmes hyperboliques

Ce programme constitue l’un des modules du troisième semestre du master d’analyse

  • Fonction de green en une dimension

  • Equation des ondes : exemples physiques, solution élémentaire en une et en trois dimensions

  • Classification des EDP du second ordre en deux dimensions ; caractéristiques.

  • Equations hyperboliques

  • Systèmes quasi linéaires hyperboliques.

Quelques modules à option dont il n’a pas encore été décidé s’ils fonctionnent en

Semestre 2 ou 3.

MODELES STOCHASTIQUES et MARCHES FINANCIERS

EDP et finances

Introduction et grandes lignes

0.1. Définition d’une option. Déterminant du prix

0.2. Première intuition sur la dynamique du prix

0.3. Approche de type utilité.

1. Lien entre espérances et EDP

1.1. Etude de l’équation de la chaleur

1.2. Cas d’une diffusion générale

2. Contrôle stochastique

2.1. Problème posé

2.2. Principe de la programmation dynamique

2.3. Une notion de solutions moins exigeante : les sur solutions de viscosité

3. Marchés complets et formule de Black et Scholes

3.1. Ecriture du programme

3.2. L’équation de Bellman associée

3.3. Résolution du programme dans le cas d’une utilité exponentielle

3.4. Le modèle de B et S avec une utilité quelconque

4. Evaluation d’options avec contraintes sur la position

4.1. Description du problème

4.2. Résolution

4.3. Analyse qualitative du prix

5. Options contingentes a des événements indépendants du marché

5.1. Description du problème

5.2. Le programme de Bellman

5.3. Résolution

5.4. Exemple

5.5. Analyse qualitative du prix

5.6. Autre approche

5.7. Cas de contrats multiples

6. Options sur actifs non traités

6.1. Description du problème

6.2. Résolution

7. Options et il liquidité

7.1. Description du problème

7.2. Résolution

7.3. Etude de cas particuliers

Quelques méthodes mathématiques pour le traitement d’image

1. Introduction

Qu’est-ce qu’une image numérique ?,1.2 Qu’est-ce que le traitement d’image ? Applications

2. Quelques outils mathématiques

2.1. Optimisation dans les espaces de Banach

2.1.1. Fonctionnelles convexes

2.1.2. Semi continuité et convexité

2.1.3. Minimisation dans un Banach réflexif

2.1.4. Une première application : Théorème de Lax-Milgram

2.1.5. Une deuxième application : Projection sur un convexe fermé

2.1.6. Généralités sur les espaces de Sobolev

2.2 Analyse de Fourier

2.2.1. Transformation de fourier dans 1(R)

2.2.2. Théorème d’inversion de fourier dans 1(R)

2.2.3. L’espace S(R)

2.2.4. Extension a 2(R) : transformation de fourier-Plancherel

2.2.5. Application a l’étude d’un signal échantillonné

2.2.6. La transformation de fourier_2D

2.3 Analyse convexe

2.3.1. Théorème de Hahn-Banach

2.3.2. Transformation de Legendre-Fenchel

2.3.3. Sous différentiel

2.3.4. Application a l’indicatrice d’un ensemble

3. Rappel sur le Filtrage 1D et 2D

3.1. Filtrage linéaire des signaux 1D

3.2. Filtrage 2D

4. Méthode des contours actifs

4.1. Rappels sur la géométrie des courbes planes

4.2. Méthodes des contours actifs

4.3. La méthode des lignes de niveau « Level set »

4.4. Le modèle des ballons « Balloons »

4.5. Le modèle de Munford-Shah

5. Quelques modèles de restauration d’image

5.1. L’espace des fonctions a variation bornée

5.2. Régularisation de Tychonov

5.3. Le modèle de Rudin-Osher-fatemi

5.4. Algorithme de projection de Chambolle

Analyse de Fourier et Traitement du Signal

1. Signaux, systèmes et filtres

2. La transformation de Fourier discrète (DFTS)

2.1. Calcul des coefficients de Fourier

2.2. Propriétés de la transformée de fourier discrète

2.3. L’algorithme de FFT

2.3.1. L’algorithme de Cooley et Tukey

2.3.2. Applications de la FFT

2.4. Utilisation de la FFT sous MATLAB

3. L’analyse de Fourier –Rappels et compléments

3.1. Séries de fourier

3.2. Transformation de fourier

3.2.1. Transformation de fourier dans L1(R)

3.2.2. Théorème d’inversion de fourier dans L1(R)

3.2.3. L’espace S(R)

3.2.4. Extension a L2(R) transformation de fourier-Plancherel

3.3. Transformation de fourier dans L1(R) /L2(R) Répartition de l’énergie

3.3.1. Densité spectrale d’énergie

3.3.2. Comportements temporel et spectral d’un signal

3.3.3. Signaux a durée finie ou a spectre borné

3.3.4. Troncature du signal en temps ou en fréquence

4. Echantillonnage.

4.1. Peigne et mesure de Dirac

4.1.1. Convolution

4.2. Théorème d’échantillonnage de Shannon

4.2.1. Echantillonnage et calcul numérique du spectre

5. Filtrage linéaire

5.1. Filtres analogiques gouvernés par une équation différentielle ordinaire

5.1.1. Cas o`u l’entrée et la sortie sont dans S(R)

5.1.2. Solution généralisée de l’EDO

5.2. Le filtre passe-bas idéal

5.3. Filtrage 2D

5.3.1. Filtrage spatial

5.3.2. Filtrage fréquentiel

6. Transformée de Fourier à fenêtre glissante

6.1. Fenêtrage

6.2. Les formules de Gabor

6.3. Comparaison des méthodes de fourier et Gabor

7. Introduction a l’analyse vocale.

7.1. Caractéristiques physiques et perceptives des sons

7.1.1. Sons périodiques simples : hauteur, intensité

7.1.2. Sons périodiques complexes : hauteur, intensité, timbre

7.2. Sons apériodiques

7.2.1. Résonance acoustique, résonateurs et filtres

 

Calcul stochastique et modèles de diffusion

D) Rappels de probabilités Evénements, tribus, mesures, de probabilité, variables aléatoires discrètes et continues, lois, espérance, variance, indépendance, espérance conditionnelle, convergence en probabilité, presque sure, en loi, lois des grands nombres, théorème central limite

Laboratoire d’Analyse Mathématique et Numérique des Equations aux Dérivées Partielles | Faculté des Mathématiques |USTHB
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